Các dạng toán biện luận khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong hệ toạ độ Oxyz | Học toán online chất lượng cao 2025 | Vted

Các dạng toán biện luận khoảng cách kể từ điểm đến chọn lựa đường thẳng liền mạch vô hệ toạ chừng Oxyz

Trong nội dung bài viết này Vted tiếp tục trình làng cho tới những em một trong những dạng toán biện luận khoảng cách kể từ điểm đến chọn lựa đường thẳng liền mạch và khoảng cách thân mật hai tuyến phố trực tiếp hoặc gặp gỡ trong những đề ganh đua. Hy vọng nội dung bài viết sẽ hỗ trợ ích cho những em vô quy trình ôn luyện và nhập cuộc những kì ganh đua tiếp đây.

>>Xem tăng Các dạng toán biện luận khoảng cách kể từ điểm đến chọn lựa mặt mũi bằng phẳng vô hệ toạ chừng Oxyz

>>Xem thêm Các dạng toán biện luận góc vô hệ toạ chừng Oxyz

>>Xem thêm phương trình hình chiếu vuông góc của một đường thẳng liền mạch lên phía trên mặt phẳng

A – Kiến thức cần thiết dùng

+ Hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng liền mạch d:

Giải phương trình $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0,H\in d$ Khi cơ chừng nhiều năm đoạn $AH$ đó là khoảng cách kể từ A cho tới d.

+ Hình chiếu vuông góc của điểm A(a;b;c) lên những trục toạ chừng Ox, Oy, Oz theo lần lượt là H(a;0;0), K(0;b;0), T(0;0;c)

+ Khoảng cơ hội kể từ điểm đến chọn lựa đường thẳng liền mạch được xem theo gót công thức $d\left( A,d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|},M\in d$

Chứng minh. Trên $d$ lấy tăng điểm $B$ sao cho tới $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}$

$\Rightarrow d\left( A,d \right)=AH=\dfrac{2{{S}_{ABM}}}{MB}=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{MB} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{MB} \right|}=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$

B – Các dạng toán

Bài toán 1: Khoảng cơ hội kể từ điểm đến chọn lựa đường thẳng liền mạch Khi đường thẳng liền mạch qua quýt một điểm

Xét đường thẳng liền mạch $d$ trải qua $M\Rightarrow d{{\left( A,d \right)}_{\max }}=AM\Leftrightarrow d\bot AM;d{{\left( A,d \right)}_{\min }}=0\Leftrightarrow A\in d$

Ví dụ 1: Trong không khí $Oxyz,$ cho tới nhị điểm $A\left( 2;0;1 \right),B\left( 1;1;2 \right)$ và mặt mũi bằng phẳng $\left( P.. \right):2x+y-2z+2=0.$ Gọi $d$ là đường thẳng liền mạch qua quýt $B$ tuy nhiên song với $\left( P.. \right)$ và cơ hội điểm $A$ một khoảng tầm lớn số 1. Phương trình của $d$ là

Giải. Ta đem $d\left( A,d \right)\le AB=\sqrt{3}$ đạt bên trên $d\bot AB\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{AB}\left( -1;1;1 \right);\overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{P}}}\left( 2;1;-2 \right)$

$ \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 3;0; - 3} \right)||\left( {1;0;1} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{gathered} x = 1 + t \hfill \\ hắn = 1 \hfill \\ z = 2 + t \hfill \\ \end{gathered} \right..$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Trong không khí $Oxyz,$ cho tới nhị điểm $A\left( 1;2;2 \right),B\left( 3;5;8 \right).$ Gọi $d$ là đường thẳng liền mạch trải qua $A$ hạn chế trục $Ox$ sao cho tới khoảng cách kể từ $B$ cho tới đường thẳng liền mạch $d$ lớn số 1. Phương trình của $d$ là

Giải. Ta đem $d\left( B,d \right)\le BA=7.$ Dấu vì chưng xẩy ra Khi và chỉ Khi $d\bot \overrightarrow{AB}\left( 2;3;6 \right).$

Gọi $M\left( m;0;0 \right)=d\cap Ox\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{AM}\left( m-1;-2;-2 \right)\bot \overrightarrow{AB}\left( 2;3;6 \right)$

$\Leftrightarrow 2\left( m-1 \right)-6-12=0\Leftrightarrow m=10\Rightarrow \overrightarrow{AM}\left( 9;-2;-2 \right)\Rightarrow d:\dfrac{x-1}{9}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-2}{-2}.$ Chọn đáp án C.

Cách 2: Gọi $M\left( m;0;0 \right)=d\cap Ox\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{AM}\left( m-1;-2;-2 \right);\overrightarrow{AB}\left( 2;3;6 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM} \right]=\left( 6;6m-2;-3m-1 \right)$

Khi cơ $d\left( B,d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{AM} \right|}=g\left( m \right)=\sqrt{\dfrac{36+{{\left( 6m-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3m+1 \right)}^{2}}}{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+4+4}}\le \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,g\left( m \right)=g\left( 10 \right)=7.$ Ta đem nằm trong thành quả như cơ hội 1.

Bài toán 2: Tổng khoảng cách kể từ nhị điểm đến chọn lựa đường thẳng liền mạch Khi đường thẳng liền mạch qua quýt một điểm

Xét đường thẳng liền mạch $d$ qua quýt $M\Rightarrow \left[ \alpha d\left( A,d \right)+\beta d\left( B,d \right) \right]\max \Leftrightarrow d\bot \left( ABM \right),\left( \alpha ,\beta >0 \right)$

Ví dụ 1: Trong không khí $Oxyz,$ cho tới nhị điểm $A\left( 1;2;-1 \right),B\left( 2;3;6 \right).$ Xét đường thẳng liền mạch $d$ qua quýt gốc toạ chừng $O$ sao cho tới tổng khoảng cách kể từ $A$ và $B$ cho tới $d$ đạt độ quý hiếm lớn số 1. Phương trình của $d$ là

Giải. Ta đem $T=d\left( A,d \right)+d\left( B,d \right)\le AO+BO=\text{const.}$

Dấu vì chưng đạt bên trên $d\bot OA;d\bot OB\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right]=\left( 15;-8;-1 \right)\Rightarrow d:\dfrac{x}{15}=\dfrac{y}{-8}=\dfrac{z}{-1}.$ Chọn đáp án D.

Bài toán 3: Tổng khoảng cách kể từ tía điểm đến chọn lựa đường thẳng liền mạch Khi đường thẳng liền mạch qua quýt một điểm

Xét đường thẳng liền mạch $d$ qua quýt $M\Rightarrow \left[ \alpha d\left( A,d \right)+\beta d\left( B,d \right)+\gamma d\left( C,d \right) \right]\max \Leftrightarrow d\bot \left( ABC \right),\left( M\in \left( ABC \right);\alpha ,\beta ,\gamma >0 \right)$

Ví dụ 1: Trong không khí $Oxyz,$ cho tới tía điểm $A\left( 1;0;0 \right),B\left( 0;-2;0 \right),C\left( 0;0;3 \right).$ Xét đường thẳng liền mạch $d$ qua quýt điểm $M\left( 1;2;3 \right)$ sao cho tới tổng khoảng cách kể từ $A,B$ và $C$ cho tới $d$ đạt độ quý hiếm lớn số 1. Phương trình của $d$ là

Giải. Ta đem $\left( ABC \right):\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{-2}+\dfrac{z}{3}=1\Rightarrow M\left( 1;2;3 \right)\in \left( ABC \right).$

Khi cơ $T=d\left( A,d \right)+d\left( B,d \right)+d\left( C,d \right)\le AM+BM+CM=\text{const.}$

Dấu vì chưng đạt bên trên $d\bot AM;d\bot BM;d\bot CM\Leftrightarrow d\bot \left( ABC \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{n}_{\left( ABC \right)}}}=\left( \dfrac{1}{1};\dfrac{1}{-2};\dfrac{1}{3} \right)||\left( 6;-3;2 \right)\Rightarrow d:\dfrac{x-1}{6}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-3}{2}.$ Chọn đáp án A.

Bài toán 4: Khoảng cơ hội kể từ điểm đến chọn lựa đường thẳng liền mạch Khi đường thẳng liền mạch qua quýt một điểm và nằm trong mặt mũi phẳng

Xét đường thẳng liền mạch $d$ thay cho thay đổi qua quýt điểm $A$ và nằm trong mặt mũi bằng phẳng $\left( P.. \right).$ Biện luận khoảng cách kể từ điểm $B$ cho tới $d$

Gọi $H,K$ theo lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $\left( P.. \right),d\Rightarrow BH=d\left( B,\left( P.. \right) \right);BK=d\left( B,d \right)$

Ta đem $BK\ge BH=d\left( B,\left( P.. \right) \right)=\text{const}\Rightarrow \text{d}{{\left( B,d \right)}_{\min }}=d\left( B,\left( P.. \right) \right)\Leftrightarrow K\equiv H\Leftrightarrow d\equiv AH$

Và $BK\le BA=\text{const}\Rightarrow \text{d}{{\left( B,d \right)}_{\max }}=BA\Leftrightarrow K\equiv A\Leftrightarrow d\bot AB\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]$

*Giả thiết nằm trong mặt mũi bằng phẳng thay cho thế vì chưng vuông góc với cùng 1 véctơ, tuy nhiên song với một phía bằng phẳng, vuông góc với cùng 1 đường thẳng liền mạch, hạn chế một đường thẳng liền mạch,…

Ví dụ 1: Trong không khí $Oxyz,$ cho tới điểm $A\left( 1;2;2 \right).$ Gọi $d$ là đường thẳng liền mạch qua quýt gốc toạ chừng $O$ và nằm trong mặt mũi bằng phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho tới khoảng cách kể từ $A$ cho tới $d$ nhỏ nhất. Phương trình của $d$ là

Giải. Gọi $H\left( 1;2;0 \right)=h/c\left( A,\left( Oxy \right) \right);K=h/c\left( A,d \right)\Rightarrow d\left( A,d \right)=AK\ge AH=2.$

Dấu vì chưng đạt bên trên $K \equiv H \Leftrightarrow d \equiv OH \Rightarrow d:\left\{ \begin{gathered} x = t \hfill \\ hắn = 2t \hfill \\ z = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Trong không khí $Oxyz,$ cho tới điểm $A\left( 1;2;2 \right).$ Gọi $d$ là đường thẳng liền mạch qua quýt gốc toạ chừng $O$ và nằm trong mặt mũi bằng phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho tới khoảng cách kể từ $A$ cho tới $d$ lớn số 1. Phương trình của $d$ là

Giải. Gọi $H\left( 1;2;0 \right)=h/c\left( A,\left( Oxy \right) \right);K=h/c\left( A,d \right)\Rightarrow d\left( A,d \right)=AK\le AO=3.$

Dấu vì chưng đạt bên trên $K \equiv O \Leftrightarrow d \bot OA \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{n_{\left( {Oxy} \right)}}} } \right] = \left( {2; - 1;0} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{gathered} x = 2t \hfill \\ hắn = - t \hfill \\ z = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Trong không khí \[Oxyz,\] cho tới mặt mũi bằng phẳng $\left( P.. \right):x-2y+2z-5=0$ và nhị điểm $A\left( -3;0;1 \right),B\left( 1;-1;3 \right).$ Đường trực tiếp qua quýt $A$ tuy nhiên song với mặt mũi bằng phẳng $\left( P.. \right)$ cơ hội $B$ một khoảng tầm nhỏ nhất đem phương trình là

Giải. Vì $A\left( -3;0;1 \right)\in d;d//\left( P.. \right):x-2y+2z-5=0\Rightarrow d\subset \left( Q \right):x-2y+2z+1=0$ là mặt mũi bằng phẳng qua quýt $A$ tuy nhiên song với $\left( P.. \right)$

Gọi $H\left( -\dfrac{1}{9};\dfrac{11}{9};\dfrac{7}{9} \right)=\mathbf{h/c}\left( \mathbf{B,}\left( \mathbf{Q} \right) \right);K=\mathbf{h/c}\left( \mathbf{B,d} \right)\Rightarrow BK=d\left( B,d \right)\ge BH=\mathbf{const}.$

Dấu vì chưng xẩy ra Khi $K\equiv H\Rightarrow d\equiv AH\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{AH}\left( \dfrac{26}{9};\dfrac{11}{9};-\dfrac{2}{9} \right)//\left( 26;11;-2 \right)\Rightarrow d:\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Trong không khí $Oxyz,$ cho tới nhị điểm $A\left( 1;2;2 \right),B\left( 3;5;8 \right).$ Gọi $d$ là đường thẳng liền mạch trải qua $A$ hạn chế trục $Ox$ sao cho tới khoảng cách kể từ $B$ cho tới đường thẳng liền mạch $d$ nhỏ nhất. Phương trình của $d$ là

Giải. Vì $d$ là đường thẳng liền mạch trải qua $A$ hạn chế trục $Ox$ nên $d$ nằm trong mặt mũi bằng phẳng $\left( P.. \right)$ chứa chấp trục $Ox$ và $A$

Ta đem $O\in Ox,\overrightarrow{OA}\left( 1;2;2 \right),\overrightarrow{{{u}_{Ox}}}=\overrightarrow{i}\left( 1;0;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{i} \right]=\left( 0;2;-2 \right)\Rightarrow \left( P.. \right):y-z=0$

Gọi $H\left( 3;\dfrac{13}{2};\dfrac{13}{2} \right)=h/c\left( B,\left( P.. \right) \right);K=h/c\left( B,d \right)\Rightarrow d\left( B,d \right)=BK\ge BH=d\left( B,\left( P.. \right) \right)=\dfrac{3}{\sqrt{2}}.$

Dấu vì chưng xẩy ra Khi và chỉ Khi $K\equiv H\Leftrightarrow d\equiv AH\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{AH}\left( 2;\dfrac{9}{2};\dfrac{9}{2} \right)||\left( 4;9;9 \right)\Rightarrow d:\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y-2}{9}=\dfrac{z-2}{9}.$ Chọn đáp án A.

Cách 2: Gọi $M\left( m;0;0 \right)=d\cap Ox\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{AM}\left( m-1;-2;-2 \right);\overrightarrow{AB}\left( 2;3;6 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM} \right]=\left( 6;6m-2;-3m-1 \right)$

Khi cơ $d\left( B,d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{AM} \right|}=g\left( m \right)=\sqrt{\dfrac{36+{{\left( 6m-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3m+1 \right)}^{2}}}{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+4+4}}\ge \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,g\left( m \right)=g\left( \dfrac{1}{9} \right)=\dfrac{3}{\sqrt{2}}.$ Ta đem nằm trong thành quả như cơ hội 1.

Ví dụ 5: Trong không khí $Oxyz$, cho tới điểm $A\left( 0;1;2 \right)$ và đường thẳng liền mạch $d:\dfrac{x-4}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-1}{-2}$. Gọi $\left( P.. \right)$ là mặt mũi bằng phẳng chứa chấp $d$ và cơ hội $A$ một khoảng tầm lớn số 1. Khoảng cơ hội kể từ điểm $M\left( 5;-1;3 \right)$ cho tới $\left( P.. \right)$ bằng

A. $\dfrac{2}{3}$. B. $\dfrac{7}{3}$.              C. $\dfrac{1}{3}$.              D. 1 .

Giải. Gọi \[H\left( 2t+4;-t+2;-2t+1 \right)\in d=h/c\left( A,d \right)\]

\[\Leftrightarrow \overrightarrow{AH}\left( 2t+4;-t+1;-2t-1 \right)\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( 2;-1;-2 \right)\]

\[\Leftrightarrow 2\left( 2t+4 \right)-\left( -t+1 \right)-2\left( -2t-1 \right)=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow \overrightarrow{AH}\left( 2;2;1 \right)\]

Ta đem $d\left( A,\left( P.. \right) \right)\le AH=\text{const}.$ Dấu vì chưng xẩy ra Khi $\left( P.. \right)\bot AH$

\[\Rightarrow \left( P.. \right):2x+2y+z-13=0\Rightarrow d\left( M,\left( P.. \right) \right)=\dfrac{\left| 10-2+3-13 \right|}{\sqrt{4+4+1}}=\dfrac{2}{3}.\] Chọn đáp án A.  

Bài toán 5: Đường trực tiếp tuy nhiên song và cơ hội đường thẳng liền mạch cố định và thắt chặt một khoảng tầm cho tới trước (đường sinh của mặt mũi trụ)

Khoảng cơ hội kể từ điểm đến chọn lựa lối sinh của trụ

Xét đường thẳng liền mạch $d$ tuy nhiên song và cơ hội đường thẳng liền mạch $\Delta $ một khoảng tầm vì chưng $a.$ Biện luận khoảng cách kể từ $A$ cho tới $d$

Ta đem $d||\Delta ,d\left( d,\Delta \right)=a\Rightarrow d$ là lối sinh của mặt mũi trụ đem trục $\Delta $ nửa đường kính $a$

Gọi $H,K$ theo lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d,\Delta $ và $T$ là hình chiếu vuông góc của $K$ lên $d$

Ta đem $AH=d\left( A,d \right);AK=d\left( A,\Delta \right);KT=d\left( d,\Delta \right)=a$

Giá trị rộng lớn nhất:

Ta đem $AH\le AT\le AK+KT=d\left( A,\Delta \right)+a\Rightarrow d{{\left( A,d \right)}_{\max }}=a+d\left( A,\Delta \right)\Leftrightarrow A,K,H\equiv T$ trực tiếp sản phẩm theo gót trật tự tức $\overrightarrow{AH}=\dfrac{AH}{AK}\overrightarrow{AK}=\dfrac{d\left( A,\Delta \right)+a}{d\left( A,\Delta \right)}\overrightarrow{AK}$

Giá trị nhỏ nhất:

+ Nếu $a\ge d\left( A,\Delta \right)\Rightarrow AH\ge HK-AK\ge KT-AK=a-d\left( A,\Delta \right)$

+ Nếu $a

Vậy $d{{\left( A,d \right)}_{\min }}=\left| a-d\left( A,\Delta \right) \right|$

*Ghi nhớ: $d\left( A,d \right)$ lớn số 1 hoặc nhỏ nhất xẩy ra Khi $A,d,\Delta $ đồng bằng phẳng.

Bài toán 6: Đường trực tiếp qua quýt một điểm nằm trong mặt mũi bằng phẳng. Biện luận khoảng cách kể từ đường thẳng liền mạch cơ cho tới đường thẳng liền mạch khác

Xét đường thẳng liền mạch $d\subset \left( P.. \right)$ và qua quýt điểm $A.$ Biện luận khoảng cách thân mật hai tuyến phố trực tiếp $d,\Delta $

Gọi \[H=h/c\left( A,\Delta \right)\Rightarrow d\left( d,\Delta \right)\le AH=d\left( A,\Delta \right)=\mathbf{const}\]

\[\Rightarrow d{{\left( d,\Delta \right)}_{\max }}=d\left( A,\Delta \right)\Leftrightarrow d\bot AH\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{AH},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right].\]

+ Nếu $\Delta //\left( P.. \right)\Rightarrow d\left( d,\Delta \right)=d\left( \Delta ,\left( P.. \right) \right)=\mathbf{const}$

+ Nếu $\Delta \cap \left( P.. \right)=I\Rightarrow d{{\left( d,\Delta \right)}_{\min }}=0\Leftrightarrow d\equiv AI$

Bài toán 7: Đường trực tiếp tuy nhiên song và cơ hội mặt mũi bằng phẳng một khoảng tầm cho tới trước. Biện luận khoảng cách từ là 1 điểm đến chọn lựa lối thẳng

Bài toán 8: Đường trực tiếp tạo nên với cùng 1 đường thẳng liền mạch một góc cho tới trước (đường sinh của mặt mũi nón)

Bài toán 9: Tổng khoảng cách từ là 1 điểm đến chọn lựa hai tuyến phố thẳng

Bài toán 10: Tổng khoảng cách kể từ nhị điểm đến chọn lựa lối thẳng

Hướng dẫn dùng MTCT Casio Fx 580 vô Oxyz

>>Xem tăng Cập nhật Đề ganh đua demo chất lượng nghiệp trung học phổ thông 2023 môn Toán đem tiếng giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện ganh đua trung học phổ thông Quốc Gia 2023 Môn Toán giành riêng cho teen 2K5