Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\) để hàm số \(y = {x^3} - \dfrac{3}{2}\left( {2m - 3} \right){x^2} + m + 2\) có đạt cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 2?

- Tìm nghiệm của phương trình \(y'\)

- Xét 2 tình huống \(2m - 3 > 0,\,\,2m - 3 < 0\)

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 3\left( {2m - 3} \right)x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m - 3\end{array} \right.\)

Để hàm số sở hữu cực to và đặc biệt đái thì \(2m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{3}{2}\)

TH1: \(2m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{3}{2}\)

Ta sở hữu bảng xét dấu:

Dựa vô bảng xét vết tao thấy \(x = 2m - 3\) là vấn đề đặc biệt đái, \(x = 0\) là vấn đề đặc biệt đại

Để vừa lòng đòi hỏi vấn đề thì \(2m - 3 < 2 \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{2}\)

Kết phù hợp với \(m > \dfrac{3}{2}\) tao được \(\dfrac{3}{2} < m < \dfrac{5}{2}\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 2\)

TH2: \(2m - 3 < 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{3}{2}\)

Ta sở hữu bảng xét dấu:

Dựa vô bảng xét vết tao thấy \(x = 0\) là vấn đề đặc biệt đái, \(x = 2m - 3\) là vấn đề đặc biệt đại

Rõ ràng \(x = 0 < 2\) nên vấn đề vừa lòng với \(m < \dfrac{3}{2}\)

Mà \(m \in \mathbb{Z},\,\,m \in \left[ { - 2;3} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1} \right\}\)

Vậy sở hữu 5 độ quý hiếm của \(m\) vừa lòng